On note \(\mathbb{N}_{\geq 1}\) l’ensemble des nombres entiers strictement positifs. Soit \(f : \mathbb{N}_{\geq 1} \to \mathbb{N}_{\geq 1}\) une fonction telle que
- \(f(f(n))\) divise une puissance de \(n\) pour tout entier \(n \geq 1\),
- \(f(mn) \in \{f(m), f(n)\}\) pour tous les entiers \(m \geq 1\) et \(n \geq 1\), et
- \(f(k) = 2026\) pour au moins un entier \(k \geq 1\).
Déterminer toutes les valeurs possibles de \(f(2026)\).
Albert vient de terminer l’écriture d’un livre, mais malheureusement son imprimeur a mélangé l’ordre des \( N \) pages de son livre. Brigitte se propose de l’aider pour remettre les pages dans le bon ordre. Brigitte ne s’autorise que les deux opérations suivantes qu’elle peut effectuer dans n’importe quel ordre et de manière répétée :
- Inverser l’ordre des pages en plaçant la première page en dernière position, la deuxième en avant-dernière position et ainsi de suite, jusqu’à placer la dernière page en première position.
- Si la première page porte le numéro \( M \), alors Brigitte classe les \( M \) premières pages, mais dans l’ordre décroissant.
Par exemple, si l’ordre des pages était \( 3,4,2,5,1 \), la première opération donnerait \( 1,5,2,4,3 \), tandis que la deuxième opération donnerait \( 4,3,2,5,1 \).
Montrer que Brigitte peut toujours remettre les pages du livre d’Albert dans le bon ordre à l’aide de ces deux opérations.
Soit \( ABC \) un triangle acutangle et \( P \) le pied de la hauteur issue de \( C \). La bissectrice de l’angle \( \widehat{ABC} \) coupe le segment \( [PC] \) en \( D \) et intersecte le cercle de diamètre \( [AD] \) en \( D \) et \( E \). Montrer que si la droite \( (EC) \) est tangente au cercle de diamètre \( [AD] \), alors la droite \( (PE) \) est la bissectrice de l’angle \( \widehat{APC} \).
Déterminer le nombre de triplets \( (a,b,c) \) d’entiers strictement positifs tels que
\( a + b + 2c = 2^{29} \) et \( ab = c^2 \).
Trouver tous les polynômes \( P \) à coefficients entiers tels que, pour tous les entiers \( a \geq 1 \) et \( b \geq 1 \), le nombre \( P(a) - P(b) \) soit divisible par \( a + 2b \) ou par \( 2a + b \).
Judith a réuni ses 2026 amis en cercle, de sorte que chacun de ses amis ait une personne à sa gauche et une personne à sa droite. Judith souhaite leur expliquer sa solution astucieuse à un problème d’olympiade qui se raconte en quelques secondes.
À 17 h 00, Judith choisit un de ses amis et lui raconte sa solution. Par la suite, chaque minute à partir de 17 h 01, deux choses se produisent. Tout d’abord, chaque ami qui connaît la solution de Judith la raconte à ses deux voisins. Ensuite, Judith choisit un de ses amis et lui raconte sa solution. Déterminer le plus petit entier \( n \) tel qu’il soit possible que tous les amis de Judith connaissent sa solution après \( n \) minutes.
Soit \( ABC \) un triangle acutangle avec \( AB \neq AC \). On note \( H \) l’orthocentre de \( ABC \) et \( M \) le milieu de \( [BC] \). Soient \( D \) et \( E \) les projections orthogonales de \( H \) sur la bissectrice intérieure, respectivement extérieure, de l’angle \( \widehat{BAC} \). Montrer que les points \( D, E, M \) sont alignés.
Montrer qu’il existe un nombre entier \( n \geq 1 \), pour lequel il existe au moins 2026 triplets \( (a,b,c) \) de nombres entiers strictement positifs tels que
\[ a^2 + b^3 + c^4 = n. \]
